发布日期：2025-02-04 17:16 点击次数：86
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如图，∠BAC=90°，∠ABC=2∠CAD，∠ADE=45°，BE=
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，CD=1，则BC=_____图片
解：方法一：通过反复导角
过点F作AF⊥DE交BD于点F，设∠CAD=α，则∠ABC=2α，∠C=90°-2α，∠ADB=∠BAD=90°-α，BA=BD；同时易知△ADE≌△DAF，AE=DF；而∠CAF=∠CFA=45°+α，CF=CA，设AE=m，则DF=m，AC=m+1,由勾股定理得
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得m=3,故BC=图片
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点评：此法是相对最简洁，导角得等腰三角形是第一步，但辅助线则相对难想，突破不了辅助线，那就没办法做了.
方法二：二倍角转一倍角
在CB的延长线上取点G，使BG=BA，连接AG，设∠CAD=α，则可∠BAD=∠BDA=90°-α，设AE=m，则BG=BD=m+
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,在BD上取点H使∠DAH=45°则可得∠CAH=∠CHA=45°+α，故CA=CH，易知△ADE≌△DAH，得DH=m，则AC=m+1，同时△CAD~△CGA得m=3,故BC=图片
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点评：此法由二倍角发力联想，后期的思考仍然少不了辅助线，利用相似解决.相对方法一复杂一些，但特殊条件确实会把人带到这个方向上来.
方法三：向外求
过点B作BN⊥AB交DE延长线于点N，同时在AB延长线上取点M，使BM=AC，易知∠BAD=∠BDA=90°-α，BD=BA，同时∠BNE=∠BDN=45°-α得BD=BN，故AB=BN，故△ABC≌△BNM，∠MNE=45°+α，故MN=ME；由方法(1)(2)知AC=m+1；
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得m=3,故BC=图片
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点评：此法向外求结果，大开大合，不过本质其实一样，方法略显复杂，不容易想到.
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